찾기 힘든 '아인슈타인' 타일의 발견은 답변보다 더 많은 질문을 제기합니다

Jul 09, 2023

수학 퍼즐에 대한 놀랍도록 간단한 답이 수학계의 흥미를 끌고 있습니다.

영국 요크셔의 수학 애호가인 데이비드 스미스(David Smith)는 수십 년 동안 수학자들이 이해하지 못했던 13각형 도형을 발견했습니다. 울퉁불퉁하고 모자 같은 모양은 독일어로 "하나의 돌"을 뜻하는 "아인슈타인"이라고 불립니다. 아인슈타인 모양의 타일을 사용하여 욕실 바닥을 덮거나 평평한 표면(무한히 크더라도)을 사용하면 서로 완벽하게 맞지만 결코 반복되는 패턴을 형성하지 않습니다. 수십 년 동안 수학자들은 비주기 타일링이라고 불리는 비반복 배열만 형성할 수 있는 이와 같은 타일 모양을 찾아왔습니다. 그들은 다양한 타일 세트로 시작했습니다. 1964년에 발견된 첫 번째 세트에는 20,426개의 개별 타일이 필요했으며 나중에 103개로 단순화되었습니다. 1974년까지 수학자 로저 펜로즈(Roger Penrose)는 두 개의 타일 모양을 발견했는데, 이 타일은 모자이크로 결합될 때 결코 형성되지 않았습니다. 반복되는 패턴.

그러나 가상의 아인슈타인이라는 한 가지 모양의 타일만으로 비주기적인 타일링을 형성하는 것이 가능할까요? 테셀레이션 전문 지식을 갖고 있는 은퇴한 모라비안 대학 소속 수학자 도리스 샤트슈나이더(Doris Schattschneider)는 진정한 아인슈타인이 발견될 가능성에 대해 회의적이었습니다. "이것이 발견되었을 뿐만 아니라 매우 단순한 타일이라는 사실이 너무나 놀라운 이유입니다."라고 그녀는 말합니다. "나에게 그것은 완전히 변칙적인 일이다." Smith가 2022년 11월 PolyForm Puzzle Solver라는 소프트웨어를 사용하여 다양한 모양을 실험하던 중 발견한 타일은 그 우아함에 놀라웠습니다. 직각 연으로 이루어진 그것은 많은 수학자들이 예상했던 형편없고 복잡한 종류의 모양과는 전혀 달랐습니다.

Smith는 이 모양의 잠재력을 인식한 온타리오 워털루 대학교의 컴퓨터 과학자인 Craig Kaplan에게 이메일을 보냈습니다. 비록 자신이 만든 모자이크가 반복되는 패턴을 갖고 있지 않은 것처럼 보였지만, 듀오는 모자이크가 무한히 크더라도 결코 반복되지 않는다는 것을 수학적으로 증명해야 했습니다. 그들은 소프트웨어 개발자 Joseph Samuel Myers와 아칸소 대학의 수학자 Chaim Goodman-Strauss를 영입했습니다. 둘 다 과거에 타일링과 조합론을 연구한 적이 있었습니다.

연구자들은 진짜 아인슈타인이 자신들의 손에 있다는 것을 증명하기 위해 두 가지 방법을 사용했습니다. 첫째, 그들은 모자 같은 타일을 함께 배열했을 때 네 가지 특정한 종류의 모양을 형성한다는 것을 보여주었습니다. 더 많은 타일을 추가하면 동일한 모양 또는 "슈퍼타일"의 더 큰 버전이 형성됩니다. 더 많은 타일을 추가할수록 슈퍼타일은 더 커집니다. 수학자들은 이러한 계층적 구조가 타일링이 반복 섹션으로 분할될 수 없고 따라서 비주기적이어야 함을 의미한다는 것을 증명했습니다. 두 번째 증명을 위해 팀은 모자 타일링을 폴리아몬드라고 불리는 더 잘 알려진 모양의 비주기 타일링과 비교할 수 있는 새로운 방법을 발명했습니다. 이 과정에서 팀은 또한 변의 길이 중 일부를 조정하여 유사한 아인슈타인을 무한히 만들 수 있음을 보여주었습니다.

이러한 증거에도 불구하고 수학자들은 무엇이 이 단순한 모자 모양을 그토록 특별하게 만드는지에 대한 더 넓은 이론을 아직 공식화하지 못했습니다. 뉴저지주 프린스턴 고등연구소의 수학자 레이첼 그린펠드는 "이것은 여전히 ​​매우 신비롭다"고 말했다. 세상에는 더 많은 종류의 아인슈타인 타일이 발견되기를 기다리고 있지만 기하학적 모자는 어떤 단서도 드러내지 못하고 있다고 말했다. 은퇴한 Smith College 소속 수학자 Marjorie Senechal: "당신이 우연히 발견한 것들입니다."

편집자 주: 이 이야기의 이전 버전은 "새로 발견된 수학적 '아인슈타인' 모양이 결코 반복되지 않는 패턴을 만듭니다."라는 제목으로 온라인에 게재되었습니다.

이 기사는 원래 Scientific American 329, 1, 13(2023년 7월)에 "Simply Infinite"라는 제목으로 게재되었습니다.

doi:10.1038/scientificamerican0723-1

마농 비쇼프 Scientific American의 파트너 간행물인 Spektrum의 이론 물리학자이자 편집자입니다. 크레딧: Nick Higgins

앨리슨 파샬 과학 저널리스트, 멀티미디어 편집자, 팟캐스트 진행자이자 전 Scientific American의 뉴스 인턴입니다. Twitter @parshallison에서 그녀를 팔로우하세요.